Kalkulus BAB III

BAB III

Kalkulus BAB II

KALKULUS BAB 1

KALKULUS BAB 0

Materi SD

BAB V BILANGAN PECAHAN

Pecahan

Rumus Pecahan

Pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut. Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan pembilang dan penyebut akan memudahkan dalam operasi aritmetika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilai yang sama. Contohnya: bila dibandingkan antara 50/100 dan ½ maka lebih mudah dan sederhana melihat angka ½. 50/100 terlihat sebagai ”angka raksasa” yang kelihatannya lebih kompleks dibandingkan ½, padahal sebenarnya kedua angka ini tetap memiliki nilai yang sama. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan selain disederhanakan juga penyebutnya harus disamakan dengan bilangan yang sama, sedangkan pada operasi perkalian caranya adalah pembilang dikali pembilang, penyebut dikali penyebut. dan dalam operasi pembagian, pecahan yang di kanan dibalikkan, setelah dibalikkan, tanda : diubah menjadi tanda kali (X), seperti 3/4 : 5/6 = 3/4 X 6/5 = 18/20 = 9/10.

Jenis pecahan

Bilangan pecahan terbagi menjadi tiga yaitu:

1.     bilangan desimal

Angka	Cara dibaca
0,5	nol koma lima
0,75	nol koma tujuh lima
0,025	nol koma nol dua lima

1.     bilangan pecah biasa

Angka	Cara dibaca
1/2	setengah
1/3	sepertiga
1/4	seperempat
1/5	seperlima
1/6	seperenam
1/7	sepertujuh
1/8	seperdelapan
1/9	sepersembilan
2/3	dua per tiga
3/4	tiga per empat

1.     bilangan campuran

Angka	Cara dibaca
1 1/2	satu setengah
2 2/3	dua dua per tiga
3 3/4	tiga tiga per empat

http://id.wikipedia.org

Materi SD

BAB IV BILANGAN CACAH

Bilangan Cacah, Pengertian, Sifat Dan Operasinya

Bilangan cacah merupakan himpunan semua bilangan bulat yang nilainya tidak negatif.   Atau bisa juga diartikel sebagai himpunan dari semua bilangan asli dan ditambah lagi bilangan 0 (nol).   Nah, dari pengertian itu kita dapat menyimpulkan bahwa bilangan cacah harus memiliki tanda positif.   Himpunan bilangan cacah yakni { 0,  1,  2,  3,  4,  5,  . . . }.  Berikut ini ada beberapa referensi yang juga menguraikan tentang pengertian bilangan cacah.

Pengertian Bilangan Cacah

Kamus Besar Bahasa Indonesia menyatakan bahwa bilangan cacah yaitu satuan untuk sistem penilaian matematis yang bersifat abstrak serta dapat diunitkan, ditambah dan juga dikalikan”.     Selain Kamus Besar Bahasa Indonesia, Muchtar A Karim, dkk juga memberikan pengertian yang serupa  menurutnya bilangan cacah memiliki pengertian sebagai suatu bilangan yang dapat dipergunakan untuk menyatakan c4cah anggota dari suatu himpunan.  Dan apabila dari himpunan tersebut tidak memiliki anggota dengan alasan tertentu maka dapat dikatakan bahwa cacah anggota himpunan tersebut adalah 0 (nol).  Dan apabila dari himpunan tersebut hanya mempunyai satu anggota, maka cacah anggotanya adalah 1 (satu),  Demikian pula apabila anggotanya ada 2, maka cacah anggotanya adalah 2 (dua).  Demikian seterusnya, dan bilanga cacah dapat ditulis sebagai berikut :

0,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10,  11,  . . .

(Untuk tanda “. . .” setelah angka 11 diartikan “dan seterusnya” karena jumlahnya tak terhingga)

Sifat-Sifat Bilangan Cacah

Sifat-Sifat dalam Penjumlahan

Sifat tertutup yang berarti hasil dari penjumlahan bilangan cacah a dan bilangan cacah b adalah berupa bilangan cacah, misalnya:

0 + 1 = 1

1 + 2 = 3

Sifat komutatif atau juga sering dikenal dengan sifat pertukaran

a + b = b + a

1 + 0 = 0 + 1 = 1

3 + 1 = 1 + 3 = 4

Sifat Asosiatif atau juga dikenal dengan nama sifat pengelompokan

( a + b ) + c = a + ( b + c )

( 1 + 2 ) + 3 = 1 + ( 2 + 3 ) = 6

( 3 + 1 ) + 6 = 3 + ( 1 + 6 ) = 10

Unsur Identitas – Yang berarti apabila dijumlah suatu bilangan cacah dengan bilangan nol maka hasilnya adalah bilangan itu sendiri, misalnya

0 + a = a + 0 = a

0 + 3 = 3 + 0 = 3

5 + 0 = 5

Sifat-Sifat Dalam Perkalian

Sifat Tertutup 

0 x 1 = 0

1 x 2 = 2

Sifat komutatif

a x b = b x a

1 x 0 = 0 x 1 = 0

3 x 1 = 1 x 3 = 3

Sifat asosiatif 

( a x b ) x c = a x ( b x c )

( 1 x 2 ) x 3 = 1 x ( 2 x 3 ) = 6

( 3 x 1 ) x 6 = 3 x ( 1 x 6 ) = 18

Sifat distributive atau penyebaran 

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )

2 x ( 3 + 4 ) = (2 x 3) + (2 x 4) = 14

4 x ( 1 + 3 ) = (4 x 1) + (4 x 3) = 16

Perkalian dengan bilangan 0 adalah 0

a x 0 = 0 x a = 0

5 x 0 = 0

0 x 14 = 0

Unsur Identitas - apabila dikalikan 1 makan hasilnya adalah bilangan itu sendiri

1 x a = a x 1 = a

1 x 34 = 34 x 1 = 34

Himpunan Bilangan Cacah

1. Terdiri dari bilangan prima = {2, 3, 5, 7, …}
2. Terdiri dari bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, …}
3. Terdiri dari bilangan asli A = { 1, 2, 3, 4, …}
4. Terdiri dari bilangan genap = {0, 2, 4, 6, …}
5. Terdiri dari bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, …}
6. Terdiri dari bilangan komposit (tersusun) = {4, 6, 8, 12, …}

 http://id.wikipedia.org

Materi SD

BAB III : Bilangan Romawi

Selain bilangan asli, bilangan cacah, bilangan bulat, maupun bilangan pecahan yang telah kamu pelajari, satu lagi himpunan bilangan yang akan kita pelajari adalah  bilangan romawi

Bilangan romawi tidak banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Mari kita perhatikan contoh berikut

1.     Merbun tinggal bersama orang tuanya di Jalan Nuri III nomor 9

2.     Daerah Istimewa Yogyakarta dipimpin oleh Sri Sultan Hamengku Buwono X

3.     Memasukki abad XXI kita dituntut untuk lebih menguasai teknologi

Coba kamu perhatikan kembaki huruf-hruf yang dicetakb tebal pada contoh-contoh kalimat diatas. III, X, XXI merupakan bilangan-bilangan romawi. Coba kamu sebutkan contoh penggunaan bilangan romawi lainnya yang kamu ketahui

Bagaimana lambang bilangan romawi?secara umum bilangan romawi terdiri dari 7 angka ( diambangkan dengan huruf sebagai berikut)

I	Melambangkan bilangan	1
V	Melambangkan bilangan	5
X	Melambangkan bilangan	10
L	Melambangkan bilangan	50
C	Melambangkan bilangan	100
D	Melambangkan bilangan	500
M	Melambangkan bilangan	1000

Untuk bilangan-bilangan yang lain dilambangkan oleh perpaduan (campuran) dari ketujuh .lambang bilangan tersebut

B. Membaca Bilangan Romawi

1.     Aturan penjumlahan bilangan romawi

Pada sistem bilangan romawi tidak dikenali bilangan 0(nol). Untuk membaca bilangan romawi, kamu harus hafal dengan benar ketujuh lambang bilangan dasar romawi

Bagaimana aturan-aturan dalam membaca lambang bilangan romawi? Bagaimana menyatakan bilangan romawi ke bilangan asli? Mari kita pelajari bersama

Contoh :

1.     II = I+I

= 1+1

= 2

Jadi , II dibaca 2

1.     VIII = V+I+I+I

= 5+1+1+1

= 8

Jadi VIII dibaca 8

1.     LXXVI = L+X+X+V+I

= 50+10+10+5+1

= 76

Jadi LXXVI dibaca 76

1.     CXXXVII = C+X+X+X+V+I+I

= 100+10+10+10+5+1+1

= 137

Jadi CXXXVII dibaca 137

Coba kamu oerhatikan lambang bilangan romawi pada contoh-contoh diatas. Semakain ke kanan, nilainya semakn kecil. Tidak ada lambang bilangan dasar yang berjajar lebih dari tiga

Dari contoh-contoh tersebut dapat kita tuliskan aturan pertama dalam membaca lambang bilangan romawi sebagai berikut

1.     Jika lambang yang menyatakan angka lebih kecil terletak di kanan, maka lambang-lambang romawi tersebut dijumlahkan

2.     Penambahannya paling banyak tiga angka

1.     Aturan pengurana bilangan romawi

Bagaimana jika lambang yang menyatakan angka lebih kecil terletak di sebelah kiri?untuk membaca bilangan romawi dapat kita uraikan dalam bentuk pengurangan seperti pada contoh berikut ini

Contoh

1.     IV=V-1

= 5-1
= 4

Jadi IV dibaca 4

1.     IX = X-I

= 10-1

= 9

Jadi IX dibaca 9

1.     XL = L-X

= 50-10

= 40

Jadi XL dibaca 40

Dari contoh-contoh tersebut dapat kita tuliskan aturan kedua dalam membaca lambang biangan romawi sebagai berikut

1.     Jika lambang yang menyatakan bilangan lebih lebih kecil terletak di kri maka lambang-lambanag romawi tersebut dikurangkan’

2.     Pengurangan paling banayak satu angka

1.     Aturan gabungan

Dari kedua aturan di atas (penjumlahan dan pemgurangan) dapat digabng sehingga bisa lebih jelas dalam membaca lambang bilangan romawi

Mari kita perhatikan contoh berikut ini

Contoh

1.     XIV = X + (V-I)

= 10 + (5-1)

= 10 + 4

= 14

1.     MCMXCIX = M + (M-C) + (C-X) + (X-I)

= 1000+(1000-100)+(100-10)+10-1)

= 1000 + 900 + 90 + 9

= 1999

Jadi MCMXCIX         dibaca 1999

http://id.wikipedia.org